Et casino kan tape på neste spinn. Det kan betale ut en stor gevinst på neste hånd, og en spiller kan forlate bordet med langt mer penger enn vedkommende kom med. Selv en hel kveld kan ende dårlig for huset.
Likevel er casinospill bygget slik at regnestykket peker i motsatt retning når antallet innsatser blir stort.
Casinoet trenger ikke å vite hvilket tall roulettekulen lander på eller hvem som vinner neste hånd. Fordelen ligger i forholdet mellom sannsynligheten for et utfall og beløpet som betales når utfallet inntreffer.
Forskjellen kan være under én prosent av innsatsen. Isolert virker det beskjedent. Over tusenvis eller millioner av innsatser ser regnestykket ganske annerledes ut.
Casinoet trenger ikke vite hvem som vinner neste runde
Uttrykket husets fordel, ofte omtalt som house edge, beskriver casinoets teoretiske matematiske fordel i et spill eller på en bestemt innsats.
En house edge på 2 prosent er ikke et direkte trekk på to kroner for hver hundrelapp som satses. Den enkelte runden følger sine egne mulige utfall: full gevinst, fullt tap eller noe mellom disse ytterpunktene, avhengig av spillet.
Prosenten blir synlig først når alle mulige resultater ses sammen med sannsynligheten for at de inntreffer og beløpet de betaler.
Roulette gjør dette regnestykket uvanlig lett å se.
En roulettekule viser hvor fordelen kommer fra
Et europeisk roulettehjul har 37 nummererte felt: 1 til 36 og én grønn 0.
Sett 100 kroner på ett bestemt nummer. Det finnes én måte å vinne på og 36 måter å tape på. Sannsynligheten for å treffe nummeret er:
1 / 37 = 2,7027 %
For at innsatsen skulle være matematisk helt nøytral mellom spiller og casino, måtte en gevinst gi 36 ganger innsatsen i netto fortjeneste. Tenkes hvert av de 37 mulige utfallene gjennom én gang, ville 36 tap da bli utlignet av den ene gevinsten.
Roulette betaler ikke 36:1 på en slik innsats.
Standardutbetalingen er 35:1.
Bruk én innsatsenhet og gå gjennom de 37 mulige resultatene:
- ett vinnende resultat gir +35 enheter
- 36 tapende resultater gir −36 enheter
Netto står man igjen med −1 enhet på 37 enheter i samlet innsats.
−1 / 37 = −2,7027 %
Fra spillerens side er forventningsverdien omtrent −2,70 prosent. Den samme differansen er casinoets matematiske fordel.
Ingen manipulering av roulettekulen er nødvendig for å skape denne marginen. Utbetalingen er ganske enkelt litt lavere enn de faktiske oddsene ville krevd i et matematisk nøytralt spill.
Nullen gjør mer enn å være et ekstra nummer
Det samme prinsippet dukker opp på en vanlig innsats på rødt eller svart.
Det europeiske hjulet har 18 røde og 18 svarte nummer. Uten nullen ville en innsats på rødt med utbetaling 1:1 vært balansert mellom 18 vinnende og 18 tapende resultater.
Nullen blir det 37. utfallet.
Rødt vinner nå på 18 mulige resultater og taper på 19:
EV = (18 / 37 × 1) + (19 / 37 × −1)
EV = −1 / 37 = −2,7027 %
De vanligste standardinnsatsene på europeisk roulette ender derfor med samme grunnleggende fordel til huset. Et enkelt nummer gir høy utbetaling fordi sannsynligheten er liten. Rødt eller svart treffer langt oftere og betaler tilsvarende mindre.
Nullen er ikke mer sannsynlig enn de øvrige feltene på et balansert hjul. Den skaper marginen fordi den tilfører et tapende utfall for slike innsatser uten at utbetalingen økes for å kompensere for den ekstra risikoen.
Ett ekstra felt endrer hele regnestykket
Amerikansk roulette har i tillegg feltet 00. Hjulet består dermed av 38 mulige resultater, mens standardutbetalingene i hovedsak er de samme.
På en innsats på rødt finnes fortsatt 18 vinnende nummer. Antallet tapende resultater har økt til 20.
EV = (18 / 38 × 1) + (20 / 38 × −1)
EV = −2 / 38 = −5,2632 %
| Roulettetype | Antall felt | Grønne felt | Husets fordel på standardinnsatser |
|---|---|---|---|
| Europeisk roulette | 37 | 0 | ca. 2,70 % |
| Amerikansk roulette | 38 | 0 og 00 | ca. 5,26 % |
Forskjellen er bare ett ekstra felt på hjulet. Den matematiske marginen blir likevel nesten dobbelt så stor.
Roulette gjør dermed noe som er vanskeligere å se i mer kompliserte casinospill: den viser direkte hvordan en liten endring i sannsynligheter eller utbetalinger påvirker forventningsverdien.
Fra roulettehjulet til forventningsverdi
Regnestykkene ovenfor er konkrete eksempler på forventningsverdi, ofte forkortet EV etter det engelske expected value.
En generell form kan skrives slik:
EV = Σ (sannsynlighet × nettoresultat)
Hvert mulig resultat får en verdi. Verdien vektes med sannsynligheten for at akkurat dette resultatet oppstår. Når bidragene fra alle mulige utfall summeres, står man igjen med gjennomsnittet den matematiske modellen peker mot.
På europeisk roulette fant vi omtrent −0,027 kroner per krone som satses. Fra casinoets side er den samme forventningen +0,027 kroner.
House edge kan derfor forstås som casinoets forventede matematiske margin på innsatsen, uttrykt i prosent.
Fordelen ligger i selve kombinasjonen av sannsynligheter og utbetalinger. Den legges ikke på som en egen avgift etter at et resultat er kjent.
Når 54 øre blir til hundrevis av kroner
2,70 prosent virker kanskje lite så lenge prosenttegnet står alene. Legg inn en faktisk innsats, og størrelsen blir enklere å tolke.
Ved 20 kroner på en standardinnsats i europeisk roulette er den matematiske forventningen:
20 kr × 0,027027 ≈ 0,54 kr
54 øre er et gjennomsnitt, ikke et mulig standardresultat på selve runden. En innsats på rødt vil normalt enten vinne 20 kroner netto eller tape de 20 kronene som ble satset.
Over mange gjentakelser vokser den forventede kostnaden sammen med den samlede innsatsen.
| Antall innsatser à 20 kr | Samlet innsats | Forventet tap ved 2,70 % |
|---|---|---|
| 1 | 20 kr | ca. 0,54 kr |
| 100 | 2 000 kr | ca. 54 kr |
| 500 | 10 000 kr | ca. 270 kr |
| 1 000 | 20 000 kr | ca. 541 kr |
Den enkle sammenhengen er:
Forventet tap = samlet innsats × husets fordel
Et faktisk resultat etter 1 000 runder kan ligge langt fra 541 kroner i tap. Tabellen viser den matematiske forventningen, ikke hvor saldoen til én bestemt spiller befinner seg etter siste runde.
For hver ny krone som satses, blir spilleren eksponert for den samme underliggende marginen på nytt.
Et casino kan ha fordelen og likevel tape hele kvelden
På kort sikt kan tilfeldigheten overskygge en liten matematisk margin fullstendig.
En spiller kan treffe riktig nummer tidlig. Flere store gevinster kan komme tett. Et roulettebord kan avslutte en periode med mindre penger enn det startet med.
Ingen av disse hendelsene er i konflikt med en house edge på 2,70 prosent.
Forventningsverdien handler om gjentakelse. Når antallet uavhengige observasjoner blir stort, får enkelte ekstreme resultater normalt mindre relativ betydning for gjennomsnittet. Dette er kjernen i de store talls lov.
Forskjellen i skala er viktig. En enkelt spiller rekker et begrenset antall runder. Et stort casino mottar innsatser fra mange spillere, på mange bord og i mange spill. Dermed kan en liten fordel per innsatsenhet få økonomisk betydning uten at huset må vinne mot hver spiller eller på hver enkelt dag.
I blackjack beveger matematikken seg med reglene
Roulettehjulet gjør sannsynlighetene forholdsvis enkle å isolere. Blackjack har flere bevegelige deler.
Her påvirkes forventningsverdien både av reglene ved bordet og av beslutningene spilleren tar. Derfor mangler det viktig informasjon når blackjack omtales med ett universelt house-edge-tall.
Blant forholdene som påvirker regnestykket er:
- antall kortstokker
- om dealer står eller trekker på soft 17
- når spilleren får doble innsatsen
- om doubling etter split er tillatt
- reglene for surrender og splitting
- utbetalingen ved en naturlig blackjack
- valgene spilleren gjør under hånden
Utbetalingen ved en naturlig blackjack er et tydelig eksempel. Et bord som betaler 3:2 har en annen forventningsverdi enn et ellers tilsvarende spill med 6:5.
Et oppgitt tall som 0,5 prosent må derfor leses sammen med forutsetningene bak beregningen. Vanligvis bygger lave beregnede house-edge-verdier på et bestemt regelsett og på at spilleren følger en definert grunnstrategi.
Dette gjør blackjack matematisk forskjellig fra roulette. Valget mellom rødt og svart påvirker ikke hvor kulen lander. En beslutning i blackjack inngår derimot direkte i treet av mulige videre utfall.
Samme spill, tre innsatser og tre forskjellige marginer
Baccarat viser en annen variant av det samme problemet.
I standard punto banco kan det blant annet satses på Banker, Player eller Tie. Kortene som deles tilhører samme hånd, men innsatsene har forskjellige sannsynligheter og utbetalingsregler.
Med vanlige regler for åtte kortstokker og 5 prosent provisjon på en vinnende Banker-innsats ligger husets fordel omtrent på 1,06 prosent for Banker og 1,24 prosent for Player. En Tie-innsats med 8:1 i utbetaling ligger rundt 14,36 prosent. Endres reglene eller gevinsttabellen, kan også prosentene endres.
Det finnes altså ikke nødvendigvis én meningsfull house edge for hele spillnavnet.
Den matematiske marginen kan tilhøre den konkrete innsatsen. Det samme ser man i andre bordspill der hovedspillet suppleres med sideinnsatser på spesielle kombinasjoner eller hendelser. Sideinnsatsen kan ha en helt annen forventningsverdi enn hovedspillet selv om begge avgjøres av samme kort eller terninger.
På en spilleautomat er regnestykket vanskeligere å se
Et roulettehjul kan telles. En moderne spilleautomat avslører ikke sannsynlighetsmodellen bare ved å vise symbolene på skjermen.
Bak resultatene ligger en matematisk konfigurasjon som bestemmer sannsynligheten for ulike utfall og hvor mye de betaler. Grunnspill, bonusfunksjoner og svært sjeldne toppgevinster kan alle bidra til den samlede tilbakebetalingen.
Når sannsynlighetene og utbetalingene for hele modellen ses under ett, får man spillets teoretiske RTP.
Har en bestemt konfigurasjon 96 prosent RTP, er den komplementære teoretiske husfordelen 4 prosent:
100 % − 96 % = 4 %
En enkelt runde følger naturligvis ikke dette prosentforholdet. Den kan betale null, mindre enn innsatsen eller mange ganger innsatsen. Fire prosent er marginen som følger av den samlede sannsynlighetsmodellen.
RTP og house edge beskriver her samme matematikk fra hver sin side: den ene uttrykker den teoretiske andelen som betales tilbake, den andre den gjenværende fordelen til huset.
House edge og faktisk hold bør holdes fra hverandre
Teoretisk fordel og casinoets observerte økonomiske resultat er heller ikke det samme.
House edge følger av spillreglene, sannsynlighetene og utbetalingene. Et faktisk resultat over en kveld, uke eller annen avgrenset periode påvirkes i tillegg av hvilke utfall som tilfeldigvis oppsto og hvor mye penger som ble omsatt.
Et europeisk roulettebord med omtrent 2,70 prosent teoretisk fordel trenger derfor ikke ende kvelden med 2,70 prosent av pengene som spillerne tok med seg.
Pengene kan dessuten brukes flere ganger. En gevinst kan satses på nytt, slik at den samlede omsetningen ved bordet blir langt høyere enn beløpet spillerne opprinnelig kom med.
Dermed må en teoretisk margin per innsats skilles fra hvor mye casinoet faktisk sitter igjen med i en bestemt periode.
Det første kan beregnes før spillet starter. Det andre kjenner man først når perioden er over.
Små prosentforskjeller får størrelse gjennom omsetningen
Sett flere house-edge-nivåer mot den samme samlede innsatsen, og avstanden mellom dem blir konkret:
| Husets fordel | 1 000 kr samlet innsats | 10 000 kr samlet innsats | 50 000 kr samlet innsats |
|---|---|---|---|
| 0,5 % | 5 kr | 50 kr | 250 kr |
| 1,0 % | 10 kr | 100 kr | 500 kr |
| 2,7 % | 27 kr | 270 kr | 1 350 kr |
| 5,0 % | 50 kr | 500 kr | 2 500 kr |
Dette er forventede verdier. Tabellen forutsier ingen bestemt spilløkt.
Den viser derimot hvorfor forskjellen mellom eksempelvis 1 og 5 prosent er langt mer enn fire små prosentpoeng når den samme innsatsen gjentas mange ganger. Ved 50 000 kroner i samlet omsetning skiller de to matematiske forventningene 2 000 kroner.
En lavere house edge gjør den forventede kostnaden per innsatsenhet mindre. Så lenge tallet fortsatt er positivt fra casinoets side, forblir spillerens langsiktige forventningsverdi negativ.
Fordelen finnes før roulettekulen begynner å rulle
UK Gambling Commissions tekniske standarder krever at regler og spillerinformasjon gjør det mulig å forstå blant annet sannsynligheten for gevinst, utbetalinger og, der det er relevant, RTP eller house edge. Kravene er beskrevet i regulatorens tekniske standard RTS 3.
Det setter fingeren på hva husets fordel egentlig er. Den oppstår ikke fordi casinoet kjenner neste resultat. Den ligger i reglene og prisene på de mulige utfallene.
På europeisk roulette kan den sees direkte i forskjellen mellom 37 mulige resultater og en utbetaling på 35:1 for et enkelt nummer. I andre casinospill er regnestykket mer sammensatt, men sannsynlighet og utbetaling må fortsatt møtes et sted.
Casinoet behøver ikke vite hva som skjer i neste runde.
Det holder at prisen på innsatsen er litt høyere enn dens matematiske verdi.